알고리즘 (4)
2024-09-26 12:01:45

문제 설명

문제

선영이는 주말에 할 일이 없어서 새로운 언어 AC를 만들었다. AC는 정수 배열에 연산을 하기 위해 만든 언어이다. 이 언어에는 두 가지 함수 R(뒤집기)과 D(버리기)가 있다.

함수 R은 배열에 있는 수의 순서를 뒤집는 함수이고, D는 첫 번째 수를 버리는 함수이다. 배열이 비어있는데 D를 사용한 경우에는 에러가 발생한다.

함수는 조합해서 한 번에 사용할 수 있다. 예를 들어, "AB"는 A를 수행한 다음에 바로 이어서 B를 수행하는 함수이다. 예를 들어, "RDD"는 배열을 뒤집은 다음 처음 두 수를 버리는 함수이다.

배열의 초기값과 수행할 함수가 주어졌을 때, 최종 결과를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 테스트 케이스의 개수 T가 주어진다. T는 최대 100이다.

각 테스트 케이스의 첫째 줄에는 수행할 함수 p가 주어진다. p의 길이는 1보다 크거나 같고, 100,000보다 작거나 같다.

다음 줄에는 배열에 들어있는 수의 개수 n이 주어진다. (0 ≤ n ≤ 100,000)

다음 줄에는 [x1,...,xn]과 같은 형태로 배열에 들어있는 정수가 주어진다. (1 ≤ xi ≤ 100)

전체 테스트 케이스에 주어지는 p의 길이의 합과 n의 합은 70만을 넘지 않는다.

출력

각 테스트 케이스에 대해서, 입력으로 주어진 정수 배열에 함수를 수행한 결과를 출력한다. 만약, 에러가 발생한 경우에는 error를 출력한다.


풀이

문제 분석

  • 각각의 테스트케이스별로 입력의 한 세트가 명령어, 배열 요소 수, 배열(대괄호와 쉼표로 구성) 이 들어온다.
  • 출력값은 크게 봐서 정상적 명령어 수행 후의 배열 or error 출력임.
  • error처리는 배열이 비었을 때 D가 들어오기만 하면 되므로 간단하다.
  • 입력값을 처리하기 좋은 형태로 바꿔주고, 정상적 명령어 수행 후의 배열 출력만 좀 신경쓰면 될듯하다.

입력값 처리

보면 알겠지만 입력을 main함수, 출력을 void AC에 뒀다.

int main(void) {
  ios::sync_with_stdio(0);
  cin.tie(0);

  int t;
  cin >> t;
  while (t--) {
    string ac_func;
    int length;
    string arr;

    cin >> ac_func >> length >> arr;

    deque<int> dq;
    if (length > 0) {
      // 배열의 값을 정수로 변환
      arr = arr.substr(1, arr.size() - 2); // '[', ']' 제거
      stringstream ss(arr);
      string token;
      while (getline(ss, token, ',')) {
        dq.push_back(stoi(token));
      }
    }

    AC(ac_func, length, dq);
  }

  return 0;
}
  • string ac_func: 명령어
  • int length: 배열 길이
  • string arr: 배열 처음 받을 때. 괄호와 쉼표 제거 후 덱에 집어넣는다.

출력값 처리

void AC(const string &func, int n, deque<int> &dq) {
  bool reverse = false, error = false;

  for (char command : func) {
    if (command == 'R') {
      reverse = !reverse;
    } else { // command == 'D'
      if (dq.empty()) {
        cout << "error" << '\n';
        error = true;
        break;
      }
      if (reverse)
        dq.pop_back();
      else
        dq.pop_front();
    }
  }

  if (!error) {
    cout << '[';
    if (reverse) {
      for (auto it = dq.rbegin(); it != dq.rend(); ++it) {
        if (it != dq.rbegin())
          cout << ',';
        cout << *it;
      }
    } else {
      for (auto it = dq.begin(); it != dq.end(); ++it) {
        if (it != dq.begin())
          cout << ',';
        cout << *it;
      }
    }
    cout << ']' << '\n';
  }
}
  • R 처리: 실제로 뒤집는 대신 reverse라는 플래그 처리로 대신한다.
    • R을 받을 때마다 reverse값이 바뀜. 두 번 받으면 원래대로 돌아온다.
    • 플래그 값에 따라 D명령어에서 끝 부분 중 어디를 제거할지, 출력을 어디부터 할지가 달라진다.
    • 만약 뒤집어져 있다면 끝 부분의 요소를 제거하고 아니라면 앞 부분을 제거하면 되는것.
    • 최종 출력에서 뒤집힘 여부를 확인하여 요소를 출력한다.
  • 최종 출력
    • error인 경우 특별한 포맷 없이 에러만 출력하면 된다.
    • 따라서 이것도 플래그로 처리하고 error가 아닌 경우에 괄호와 쉼표로 구분된 배열을 출력하게 함.
    • 뒤집힌 배열은 뒤에서부터 읽고 그렇지 않으면 처음부터 읽으면 된다.

전체 코드

#include <deque>
#include <iostream>
#include <sstream>
#include <string>
using namespace std;

void AC(const string &func, int n, deque<int> &dq) {
  bool reverse = false, error = false;

  for (char command : func) {
    if (command == 'R') {
      reverse = !reverse;
    } else { // command == 'D'
      if (dq.empty()) {
        cout << "error" << '\n';
        error = true;
        break;
      }
      if (reverse)
        dq.pop_back();
      else
        dq.pop_front();
    }
  }

  if (!error) {
    cout << '[';
    if (reverse) {
      for (auto it = dq.rbegin(); it != dq.rend(); ++it) {
        if (it != dq.rbegin())
          cout << ',';
        cout << *it;
      }
    } else {
      for (auto it = dq.begin(); it != dq.end(); ++it) {
        if (it != dq.begin())
          cout << ',';
        cout << *it;
      }
    }
    cout << ']' << '\n';
  }
}

int main(void) {
  ios::sync_with_stdio(0);
  cin.tie(0);

  int t;
  cin >> t;
  while (t--) {
    string ac_func;
    int length;
    string arr;

    cin >> ac_func >> length >> arr;

    deque<int> dq;
    if (length > 0) {
      // 배열의 값을 정수로 변환
      arr = arr.substr(1, arr.size() - 2); // '[', ']' 제거
      stringstream ss(arr);
      string token;
      while (getline(ss, token, ',')) {
        dq.push_back(stoi(token));
      }
    }

    AC(ac_func, length, dq);
  }

  return 0;
}

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문제 요약:

테스트 케이스 T가 처음에 주어지고, 그 횟수만큼 최소 이동 횟수를 구하면 되는 문제.

이동 로직:

  • 이전 시기에 k만큼 움직였다면 다음 턴에 k-1, k, k+1만큼 이동할 수 있다.
  • 초기에는 -1, 0, 1 선택 가능하나(사실상 1로 시작하는것), 마지막에는 이동거리가 1로 고정되어야한다.

문제 풀이

  • 마지막에 1로 움직일 거리가 고정되어야하므로 직전에는 0, 1, 2만큼 움직여야 가능하나, 0만큼 움직이는 건 무의미하므로 1이나 2로 끝나야 함.
  • 그렇다면 마지막에서 두 번쨰는 최대 3까지 이동, 세 번째는 최대횟수 4...이러한 패턴이 있다
  • 각각 지점에서 최대 이동거리를 취했다가 다시 돌아온다고 가정하면 1->2->3->...n->n-1->...->2->1과 같이 된다.
  • 그리고 저런 식의 패턴은 합이 $n^2$이고, 한 턴에 이동한 최대거리가 최종적으론 n이 되는것이다.
  • 저런 패턴에서 1이나 2를 마지막에 추가하여 가능한 길이를 더 만들 수도 있다.1->2->3->2->2->1->1...이런 식으로

문제 상황을 분석하자면 위와 같은 느낌이다.
예시를 적용해보자면 9는 1->2->3->2->1로 저기서의 n은 3이며 2n+1번만큼의 이동에서 최소 이동횟수를 갖는다. 제곱수의 경우 저 로직에서 벗어나지 않을 것으로 보인다. 그렇다면 제곱수가 아닌 경우, 즉 $n^2+\alpha$와 같은 수에서 저게 어떻게 작동되는지 알면 사실상 해결되었다고 봐도 될 것으로 보임. 1이나 2 추가하는 것은 그닥 문제가 아니라고 했는데, 사실 n(최대 이동거리) 이 친구보다 $\alpha$가 같거나 작으면 한 번만 추가해도 되고, 그렇지 않다면 쪼개야 하는 것이다. 쪼갤 때는 n이하의 수들로 분할하면서, 이동 횟수는 최소한이 되도록 쪼개야 할 것이다. 우리가 구해야하는 건 최소 횟수인데, 만약 쪼갠다고 할 때 최대로 쪼갠다면 1->2->...n->n->n->...와 같이 추가될 수 있으므로 $\alpha$를 n으로 나누면 복잡한 로직 없이 해결될 것 같다.

#include <cmath>
#include <iostream>

using namespace std;

int main(void) {
  ios::sync_with_stdio(0);
  cin.tie(0);
  cout.tie(0);
  int t;
  long long x, y;
  long long move, max;
  // 이동 횟수와 최대 이동거리
  cin >> t;
  for (int i = 0; i < t; i++) {
    cin >> x >> y;
    move = 0;
    max = 0;
    while (max * max <= y - x)
      max++;
    //y-x는 거리, 제곱수로 표현 가능한 최대 max를 찾는다
    max--;
    move = 2 * max - 1;
    long long alpha = y - x - max * max;
    //거리에서 제곱수 말고 남는 부분.
    alpha = (long long)ceil((double)alpha / (double)max);
    //최대 횟수로 나눠준 후 올림을 통해 정수인 횟수로 나오게 해야한다. 
    move += alpha;
    cout << move << '\n';
  }
}

구현은 위와 같이 했다. ceil은 올림을 해주는 함수이다. 일반적으로 round를 쓸 일이 많은 것 같은데, 이동 횟수 자체는 반올림으로 떨어지게 하는 것이 더 처리에 불편할 것 같으므로 위와 같이 ceil을 쓰는 게 더 간단해보이는 부분...

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문제

너무 길어서 요약했다.
M개의 주사위가 있고, i번쨰 주사위가 $N_{i}$ 번째 주사위이며 모든 면에 적힌 숫자를 더한 값이 $S_{i}$일때 각 주사위에 대해 각 면이 나올 확률이 동일하다면, 모든 주사위를 한 번씩 던졌을 때 나온 숫자들의 합의 기댓값을 구하는 문제다.

이는 아래 방법을 따르는데,

$S_{1}/N_{1} + S_{2}/N_{2} + … + S_{M}/N_{M}$
를 계산할 때 따르는 통분 문제를 해결하기 위해 분수를 모듈러 상의 정수로 가지도록 한다.

기약 분수 $a/b = a * b^{-1}mod X$ 로 계산한다.
$b^{-1} * b = 1(modX)$

페르마의 소정리:

소수 모듈러에서
$b^{X-1} * b = 1(modX)$
가 성립하므로
$b^{X-2} = b^{-1}(modX)$

그러나 위와 같은 방식에서 서로 다른 분수를 모듈러 상 같은 정수로 저장하는 경우가 있고, 분모가 소인수X로 가지는 경우에 역원을 계산할 수 없어서 모둘러를 1,000,000,007과 같은 큰 소수로 한다.
이 방식을 최종으로 하여 문제를 푼다.

입력

첫 번째 줄에는 주사위의 수를 나타내는 정수 M(1 ≤ M ≤ 104)이 주어진다.

다음 M개의 줄은 각 주사위의 정보를 나타내며, 이 중 i(1 ≤ i ≤ M)번째 줄에는 Ni, Si(1 ≤ Ni, Si ≤ 109)가 공백으로 구분되어 주어진다.

출력

모든 주사위를 한 번씩 던졌을 때 나온 숫자들의 합의 기댓값을 출력한다. 정확한 판별을 위해, 답을 기약분수로 나타내었을 때 a/b가 된다면, (a × b-1) mod 1,000,000,007을 대신 출력하도록 한다. b-1은 b의 모듈러 곱셈에 대한 역원이다. 이 문제에서는 가능한 모든 입력에 대해 답이 존재한다.


풀이

#include <iostream>
#define MOD 1'000'000'007

using namespace std;
typedef long long ll;

ll power(ll a, ll b) {
  ll ret = 1;
  while(b) {
    if (b & 1)
      ret = ret * a % MOD;
    b /= 2;
    a = a * a % MOD;
  }
  return ret;
}

int main(void) {
  ios_base::sync_with_stdio(0);
  cin.tie(0);
  cout.tie(0);

  int M;
  cin >> M;
  ll ans = 0;

  for (int i = 0; i < M; i++) {
    int n, s;
    cin >> n >> s;
    ans += (s * power(n, MOD - 2)) % MOD;
    }
  cout << ans % MOD << '\n';
  return 0;
}

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백준 11005

문제

10진법 수 N이 주어진다. 이 수를 B진법으로 바꿔 출력하는 프로그램을 작성하시오.

10진법을 넘어가는 진법은 숫자로 표시할 수 없는 자리가 있다. 이런 경우에는 다음과 같이 알파벳 대문자를 사용한다.

A: 10, B: 11, ..., F: 15, ..., Y: 34, Z: 35

입력

첫째 줄에 N과 B가 주어진다. (2 ≤ B ≤ 36) N은 10억보다 작거나 같은 자연수이다.

출력

첫째 줄에 10진법 수 N을 B진법으로 출력한다.

# include <stdio.h>  

int main(void) {  
    int N, B;  
    scanf("%d %d", &N, &B);  
    char num [10000];  
    int cnt = 0;  

    for (int i = 0; N > 0; i++) {  
        int remainder =  N % B;  

        if (remainder < 10) num[i] = '0' + remainder;  
        // remainder는 정수이므로 문자로 바꾸기
        else num[i] = 'A' + (remainder -10);  

        N = N / B;  
        cnt++;  
    }   

    for (int i = cnt -1; i >= 0; i--) {  
    printf("%c", num[i]);  
    }  
}

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